python实现各种插值法(数值分析)
一维插值
插值不同于拟合。插值函数经过样本点，拟合函数一般基于最小二乘法尽量靠近所有样本点穿过。常见插值方法有拉格朗日插值法、分段插值法、样条插值法。
- 拉格朗日插值多项式：当节点数n较大时，拉格朗日插值多项式的次数较高，可能出现不一致的收敛情况，而且计算复杂。随着样点增加，高次插值会带来误差的震动现象称为龙格现象。
- 分段插值：虽然收敛，但光滑性较差。
- 样条插值:样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。
# -*-coding:utf-8 -*- import numpy as np from scipy import interpolate import pylab as pl x=np.linspace(0,10,11) #x=[ 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.] y=np.sin(x) xnew=np.linspace(0,10,101) pl.plot(x,y,"ro") for kind in ["nearest","zero","slinear","quadratic","cubic"]:#插值方式 #"nearest","zero"为阶梯插值 #slinear 线性插值 #"quadratic","cubic" 为2阶、3阶B样条曲线插值 f=interpolate.interp1d(x,y,kind=kind) # ‘slinear', ‘quadratic' and ‘cubic' refer to a spline interpolation of first, second or third order) ynew=f(xnew) pl.plot(xnew,ynew,label=str(kind)) pl.legend(loc="lower right") pl.show()
结果：
二维插值
方法与一维数据插值类似，为二维样条插值。
# -*- coding: utf-8 -*- """ 演示二维插值。 """ import numpy as np from scipy import interpolate import pylab as pl import matplotlib as mpl def func(x, y): return (x+y)*np.exp(-5.0*(x**2 + y**2)) # X-Y轴分为15*15的网格 y,x= np.mgrid[-1:1:15j, -1:1:15j] fvals = func(x,y) # 计算每个网格点上的函数值 15*15的值 print len(fvals[0]) #三次样条二维插值 newfunc = interpolate.interp2d(x, y, fvals, kind='cubic') # 计算100*100的网格上的插值 xnew = np.linspace(-1,1,100)#x ynew = np.linspace(-1,1,100)#y fnew = newfunc(xnew, ynew)#仅仅是y值 100*100的值 # 绘图 # 为了更明显地比较插值前后的区别，使用关键字参数interpolation='nearest' # 关闭imshow()内置的插值运算。 pl.subplot(121) im1=pl.imshow(fvals, extent=[-1,1,-1,1], cmap=mpl.cm.hot, interpolation='nearest', origin="lower")#pl.cm.jet #extent=[-1,1,-1,1]为x,y范围 favals为 pl.colorbar(im1) pl.subplot(122) im2=pl.imshow(fnew, extent=[-1,1,-1,1], cmap=mpl.cm.hot, interpolation='nearest', origin="lower") pl.colorbar(im2) pl.show()
左图为原始数据，右图为二维插值结果图。
二维插值的三维展示方法
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
演示二维插值。
"""
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib as mpl
from scipy import interpolate
import matplotlib.cm as cm
import matplotlib.pyplot as plt
def func(x, y):
return (x+y)*np.exp(-5.0*(x**2 + y**2))
# X-Y轴分为20*20的网格
x = np.linspace(-1, 1, 20)
y = np.linspace(-1,1,20)
x, y = np.meshgrid(x, y)#20*20的网格数据
fvals = func(x,y) # 计算每个网格点上的函数值 15*15的值
fig = plt.figure(figsize=(9, 6))
#Draw sub-graph1
ax=plt.subplot(1, 2, 1,projection = '3d')
surf = ax.plot_surface(x, y, fvals, rstride=2, cstride=2, cmap=cm.coolwarm,linewidth=0.5, antialiased=True)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('f(x, y)')
plt.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)#标注
#二维插值
newfunc = interpolate.interp2d(x, y, fvals, kind='cubic')#newfunc为一个函数
# 计算100*100的网格上的插值
xnew = np.linspace(-1,1,100)#x
ynew = np.linspace(-1,1,100)#y
fnew = newfunc(xnew, ynew)#仅仅是y值 100*100的值 np.shape(fnew) is 100*100
xnew, ynew = np.meshgrid(xnew, ynew)
ax2=plt.subplot(1, 2, 2,projection = '3d')
surf2 = ax2.plot_surface(xnew, ynew, fnew, rstride=2, cstride=2, cmap=cm.coolwarm,linewidth=0.5, antialiased=True)
ax2.set_xlabel('xnew')
ax2.set_ylabel('ynew')
ax2.set_zlabel('fnew(x, y)')
plt.colorbar(surf2, shrink=0.5, aspect=5)#标注
plt.show()
左图的二维数据集的函数值由于样本较少，会显得粗糙。而右图对二维样本数据进行三次样条插值，拟合得到更多数据点的样本值，绘图后图像明显光滑多了。
以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持【听图阁-专注于Python设计】。
